SISTEM BILANGAN REAL
N= Himpunan
bilangan asli
= (1,2,3,...,10)
Z = Himpunan
bilangan bulat
=
(2,4,6,8,...)Genap
= ( -1,-2,2-,...)
Bilangan bulat tak negatif = (0,1,2,3,...)
Bilangan bulat tak positif = (0,-1,-2,-3,...)
Himpunan bilangan rasional
(a/b,a,b E Z,(b kurang dari nol))
KOORDINAT (GRAFIK, SIMETRI, GRADIEN)
Grafik bidang
cartesius sumbu X, sumbu Y perpotongan titik dengan sumbu X (0,a)
Perpotongan titik dengan sumbu Y (0,0)
Melalui titik potong garis dengan sumbu X maka tetapkan Y=0
Melalui titik potong garis dengan sumbu Y maka tetepkan X=0
Contoh :
Cari titik potong dengan beda sumbu dari persamaan-persamaan
berikut
1.
2x+y = 7
2.
3x+5y = 15
Jawab :
1.
Titik potong dengan sumbu x -> y = 0
2x+y = 7
2x+0 = 7
2x=7
X=7/2
Titik potong dengan sumbu x
(x,y)=
Titik potong dengan sumbu y
->x = 0
2x+y = 7
2.0+y =7
0+y = 7
Y=7
Jadi, sumbu y
(x,y)=(0,7)
2.
Titik potong dengan sumbu x -> y=0
3x+5y = 15
3x+5.0 = 15
3x = 15
X= 5
Jadi, sumbu x
(x,y)=(5,0)
Titik potong dengan
sumbu y-> x=0
3x+5y = 15
3.0+5y + 15
5y = 15
Y = 3
Jadi, sumbu y (x,y)=(0,3)
GRADIEN KEMERINGAAN
Definisi
Misalkan dua buah titik pada bidang cartesius P1(x1,y1)
dan P2(x2,y2) maka, gradien P1 P2
adalah
M = y2-y1/x2-x1
Garis vertikal mempunyai kemiringan tak hingga Contoh
Tentukan kemiringan garis yang melalui
(7,9) dan (-4,3)?
Jawab;
M=7-(-4)/9-3=11/6
GARIS SEJAJAR DAN GARIS TEGAK LURUS Jika L1 dan L2 adalah dua garis yang mempunyai kemiringan
m1 dan m2
a.
Garis-garis yang sejajar adalah m1=m2
b.
Garis-garis yang tegak lurus adalah m1,m2=-1
PERSAMAAN GARIS
Kemiringan=m memotong titik p1(x1,y2)
Persamaan1 y-y1
= m(x-x1)
Melalui dua titik p1(x1,y1)dan
p2(x2,y2) pesamaan
y-y1/y2-y1= x-x1/x2-x1
Conto :
P1= (2,3)
X1=2
Y1=3
P2=(5,7)
X2=5
Y2=7
Berapa gradiennya ?
Jawab :
M=
Contoh :
P1 = (2,6)
P2 = (3,1)
Jawab :
X1 = 2
x2 = 3
Y1 = 6
y2 = 1
M=y1-y2/x1-x2
=
1-6/3-2
= -5/1 = -5
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
Misalkan f;A B ,f di
katakan suatu fungsi jika setiap anggota domain A di pasangkan dengan tepat
satu anggota kodomain B
A B X1
X1 y1
X2 y2
Operasi-operasi pada fungsi
Misalkan dua fungsi f(x) dan g(x) maka berlaku
1(.f tegak lurus g)(x)=f(x)tegak lurus g(x)
2.(f.g)(x)=f(x).g(x)
3.(f/g)(x)=f(x/g(x)
Contoh;
F(x)=2x
G(x)=x
1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+x
2.(f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x-x
3.(f.g)(x)=f(x).g(x)=2x.x= 2
4.(f/g)(x)=f(x)/g(x)=
=
KOMPOSISI FUNGSI
Operasi komposisi dibentuk dengan
mensubtitusikan suatu fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya.
Contoh :
1.(fog)(x)=f(g(x))=2.g(x)=2.(x)=2x
2.(gof)(x)=g(f(x))=f(x)=(2x)
Definisi
F’(x)=lim f(x+h)-f(x)/h
Di sebut turunan terhadap x dari
fungsi f jika f(x) ada titik x =xo maka dapt di katakan bahwa f dapat di
turunkan di xo (f mempunyai turunandi xo.
Turunan fungsi trigonometri
d/dx(sinx)=cos x
(cos x)=-sin x
(cot x)=-csc x
(sec x)
(
)=sec x tan x
(csc x)=
(
)csc x cot x
INTEGRAL
Definisi
Teorema Kelinearan Integral
1.
2.
3.
Contoh :
Misal : f(x) =
+1
g(x) = sin x
k=7
1.
(
+1)dx=7
=7(
2.
=
=
3x3 + x – cos x +c
Aturan pangkat
g’(x)dx
= [
n+1 + c
Contoh :
sin x dx =
=
=
TEOREMA DASAR KALKULUS
Misalkan f adalah sebarang fungsi
Kontinu pada interfal [a,b] dan misalkan
Pada f adalah anti turunan dari f maka
Contoh :
3 +7x
=
{
3+7.2}
={
3+7.0=
=19
Sifat-sifat
dasar integral
1.
2.jika f dan g terintegral pada [a,b]dan f(x)<
g(x)
[a,b] maka
3.jika f terintegral pada [a,b] dan m ≤ f(x)≤
m
4.
5.Teorema nilai rata-rata
Jika f kontinu
pada [a,b] maka tardapat c dimana a≤b sedemikian hingga
m(b.a)≤
TEKNIK PENYELESAIN INTEGRAL
Teorema
Misalkan g(x)turunan kontinu pada [a,b] dan andaikan f kontinu
pada daerah nilai g maka
Contoh
+1
dx =
dx
Misal u=
X=1
Du=2x
dx
--
-
METODE SUBTITUSI
Teorema
Misalkan g mempunyai turunan kontinu pada [a.b] dan
kontinu
pada daerah nilai g maka
Langka-langka integral subtitusi
1.pilih u misal u=g(x)
2.tentukan
g’(x)
dx
3.subtitusikan u=g(x),du=g’(x)dx sampai disini
Integrsi haarus
berada dalam suku-suku
U tidak boleh masih
tersisa dalam suku x.jika
tidak demikian plih persamaan
u yang lain .
4.selesaikan integral dalam u
5.ganti u dengan g(x)sebagai di peroleh jawab
dalam sumbu x.
Contoh :
3
dx = misalkan u = 3x +1
Du =
=
du=dx
3dx=
3.
3du
=
4
4
3-
4=
2. METODE PARSIAL
Integral parsial atau pengintegralan sebagian di dasarkan pada
turunan suatu fungsi hasil kali misalkan f(x)=uv dengan u = f(x) dan v=g(x).
F’(x)=
d(uv)=uv’dx+vu’dx
uv’dx=d(uv)-vu’dx
Integralkan kedua ruas maka diperoleh
atau
Contoh :
1.
dimisalkan u=x
du=dx
V=cos x
=x(-cosx)—
= -x cos x + sin x +c
2.
Tentukan
Jawab : Misalkan u = 2x, maka du = 2dx
dv
= sinxdx maka v=
VOLUME BENDA PUTAR
Adalah suatu fungsi yang di
batasi nilai tertentu dan di putar terhadap suatu sumbu atau garis
Ada 3 cara menghitung volume:
1.cara metode cakran
irisanya berbentuk cakran.mencari volume benda putar dari
sati fungsi.
Contoh:
Cari volume benda putar yang di apit x=y2,x=0,x=2
dan di putar terhadap sumbu x
Jawab:
X=0
X=2
V=
2)2dy
=
4dy=
y5
5
2.metode cincin
Volume benda putar yang
di batasi 2 fungsi misal f(x)dan g(x)
3.metode cincin
silinder
V=vtab luar-vtab dalam
V=
V=
Tidak ada komentar:
Posting Komentar