kalkulus satu dan dua

               

SISTEM BILANGAN REAL

N= Himpunan bilangan asli

    = (1,2,3,...,10)

Z = Himpunan bilangan bulat

   = (2,4,6,8,...)Genap

   = ( -1,-2,2-,...)

               

Bilangan bulat tak negatif = (0,1,2,3,...)

Bilangan bulat tak positif = (0,-1,-2,-3,...)

Himpunan bilangan rasional

(a/b,a,b E Z,(b kurang dari nol))

                 

KOORDINAT (GRAFIK, SIMETRI, GRADIEN)

  Grafik bidang cartesius sumbu X, sumbu Y perpotongan titik dengan sumbu X (0,a)

Perpotongan titik dengan sumbu Y (0,0)

Melalui titik potong garis dengan sumbu X maka tetapkan Y=0

Melalui titik potong garis dengan sumbu Y maka tetepkan X=0

     Contoh :

Cari titik potong dengan beda sumbu dari persamaan-persamaan berikut

1.       2x+y = 7

2.       3x+5y = 15

Jawab :

1.       Titik potong dengan sumbu x -> y = 0

2x+y = 7

2x+0 = 7

2x=7

X=7/2

Titik potong dengan sumbu x (x,y)=

Titik potong dengan sumbu y ->x = 0

2x+y = 7

2.0+y =7

0+y = 7

Y=7

    Jadi, sumbu y (x,y)=(0,7)

2.       Titik potong dengan sumbu x -> y=0

3x+5y = 15

3x+5.0 = 15

        3x = 15

          X= 5

      Jadi, sumbu x (x,y)=(5,0)

  Titik potong dengan sumbu y-> x=0

3x+5y = 15

3.0+5y + 15

5y = 15

Y = 3

Jadi, sumbu y (x,y)=(0,3)

GRADIEN  KEMERINGAAN

  Definisi

Misalkan dua buah titik pada bidang cartesius P₁(x₁,y₁) dan P₂(x₂,y₂) maka, gradien P₁ P₂ adalah

M = y₂-y₁/x₂-x₁

Garis vertikal mempunyai kemiringan tak hingga                       Contoh                                                                                               Tentukan kemiringan garis yang melalui  (7,9) dan    (-4,3)?                                                                                                Jawab;                                                                                                              M=7-(-4)/9-3=11/6

GARIS SEJAJAR DAN GARIS TEGAK LURUS                    Jika L₁   dan L₂  adalah dua garis yang mempunyai  kemiringan  m₁ dan m₂

a.       Garis-garis yang sejajar adalah m₁=m₂

b.      Garis-garis yang tegak lurus adalah m₁,m₂=-1

PERSAMAAN GARIS

Kemiringan=m memotong titik p₁(x₁,y₂)

Persamaan1   y-y₁ = m(x-x₁)

Melalui dua titik p₁(x₁,y₁)dan p₂(x₂,y₂) pesamaan

y-y₁/y₂-y₁= x-x₁/x₂-x₁

   Conto :

P₁= (2,3)

X₁=2

Y₁=3

P₂=(5,7)

X₂=5

Y₂=7

Berapa gradiennya ?

   Jawab :

M=

 

   Contoh :

P₁ = (2,6)

P₂ = (3,1)

   Jawab :

X₁ = 2            x₂ = 3

Y₁ = 6            y₂ = 1

M=y_1-y₂/x₁-x₂

       = 1-6/3-2

     = -5/1  = -5

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

Misalkan f;A       B ,f di katakan suatu fungsi jika setiap anggota domain A di pasangkan dengan tepat satu anggota kodomain B

    A                B       X₁

   X₁                        y₁

  

   X₂               y₂

Operasi-operasi pada fungsi

Misalkan dua fungsi f(x) dan g(x) maka berlaku

1(.f tegak lurus g)(x)=f(x)tegak lurus g(x)

2.(f.g)(x)=f(x).g(x)

3.(f/g)(x)=f(x/g(x)

Contoh;

F(x)=2x

G(x)=x

1.(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2x+x

2.(f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x-x

3.(f.g)(x)=f(x).g(x)=2x.x= 2

4.(f/g)(x)=f(x)/g(x)= =

                KOMPOSISI FUNGSI

Operasi komposisi dibentuk dengan mensubtitusikan suatu fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya.

   Contoh :

1.(fog)(x)=f(g(x))=2.g(x)=2.(x)=2x

2.(gof)(x)=g(f(x))=f(x)=(2x)

Definisi

F’(x)=lim f(x+h)-f(x)/h

Di sebut turunan terhadap x dari fungsi f jika f(x) ada titik x =xo maka dapt di katakan bahwa f dapat di turunkan di xo (f mempunyai turunandi xo.

Turunan fungsi trigonometri

d/dx(sinx)=cos x

(cos x)=-sin x

(cot x)=-csc x

(sec x) ( )=sec x tan x

(csc x)= ( )csc x cot x

INTEGRAL

Definisi

Teorema Kelinearan Integral

1.      

2.      

3.      

Contoh :

Misal :    f(x) = +1

 g(x) = sin x

 k=7

1. ( +1)dx=7                                    =7(

2.  

                                              =   

                                              =  3x³ + x – cos x +c

     Aturan pangkat

 g’(x)dx = [ n+1 + c

Contoh :                                                                                                sin x dx =

                                              =

                                              =

TEOREMA DASAR KALKULUS

Misalkan f adalah sebarang fungsi

Kontinu pada interfal [a,b] dan misalkan

Pada f adalah anti turunan dari f maka

Contoh : ³ +7x

                                = { ³+7.2}

                                ={ ³+7.0=

                                =19

                Sifat-sifat dasar integral

1.

2.jika f dan g terintegral pada [a,b]dan f(x)<

    g(x)  [a,b] maka

3.jika f terintegral pada [a,b] dan m ≤ f(x)≤

    m

4.

5.Teorema nilai rata-rata

            Jika f kontinu pada [a,b] maka tardapat c dimana a≤b sedemikian hingga

m(b.a)≤

TEKNIK PENYELESAIN INTEGRAL

Teorema

Misalkan g(x)turunan kontinu pada [a,b] dan andaikan f kontinu pada daerah nilai g maka

 

Contoh

+1 dx = dx

Misal u=

                        X=1

                        Du=2x dx

                       

                        -- -

METODE SUBTITUSI

            Teorema

Misalkan g mempunyai turunan kontinu pada [a.b] dan kontinu pada daerah nilai g maka

Langka-langka integral subtitusi

1.pilih u misal u=g(x)

2.tentukan g’(x) dx

3.subtitusikan u=g(x),du=g’(x)dx sampai disini

            Integrsi haarus berada dalam suku-suku

 U tidak boleh masih tersisa dalam suku x.jika

  tidak demikian plih persamaan u yang lain .

4.selesaikan integral dalam u

5.ganti u dengan g(x)sebagai di peroleh jawab

  dalam sumbu x.

Contoh : ³ dx = misalkan u = 3x +1

              Du =  = du=dx

              ³dx= ³. ³du

              = ^{4 4 3}-

                ⁴=

2. METODE PARSIAL

    Integral parsial atau pengintegralan sebagian di dasarkan pada turunan suatu fungsi hasil kali misalkan f(x)=uv dengan u = f(x) dan v=g(x).

            F’(x)=  

             

            d(uv)=uv’dx+vu’dx

            uv’dx=d(uv)-vu’dx

Integralkan kedua ruas maka diperoleh

             atau

           

Contoh :

1.       dimisalkan u=x du=dx

            V=cos x

           

            =x(-cosx)—  = -x cos x + sin x +c

2.      Tentukan

Jawab : Misalkan u = 2x, maka du = 2dx

            dv = sinxdx maka v=  

           

VOLUME BENDA PUTAR

Adalah suatu fungsi yang di batasi nilai tertentu dan di putar terhadap suatu sumbu atau garis

Ada 3 cara menghitung volume:

1.cara metode cakran

irisanya berbentuk cakran.mencari volume benda putar dari sati fungsi.

 

Contoh:

Cari volume benda putar yang di apit x=y²,x=0,x=2 dan di putar terhadap sumbu x

Jawab:

                X=0

X=2

V= ²)²dy

= ⁴dy= y^{5 5}

2.metode cincin

Volume benda putar yang di batasi 2 fungsi misal f(x)dan g(x)

3.metode cincin silinder

V=vtab luar-vtab dalam

V=

V=